個数制限付きナップサック問題を勉強しました

問題概要

価値が v_i 重さが w_i であるような N 種類の品物と、容量が W のナップザックがあります。i 番目の品物は mi 個まで選ぶことができます。選んだ品物の重さの総和が W を超えないように選んだとき、価値の合計の最大値を求めてください。

問題リンク Knapsack Problem with Limitations | Aizu Online Judge

制約

• 1 ≦ N ≦ 100
• 1 ≦ v_i, wi ≦ 1000
• 1 ≦ m_i ≦ 10000
• 1 ≦ W ≦ 10000

解法

品物の合計が Nm 個あるので単純なナップサックDPでは O(NmW) となり、このままでは解けません。

工夫をして i 番目の品物を 1, 2, 4, 8,..., 2^k, r 個ずつに分割してまとめてみます (rは余り)。するとこれらの組み合わせで 1,2,3,...,m_i 個だけ品物を入れることを表現できます。これで m をlog m 個にまとめられるので計算量は O(NWlogm) となり、これは間に合います。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i = 0; i < n; i++)

int N, W, M, dp[2000][10005];
vector<int> v, w;

int main() {
    cin >> N >> W;
    REP(i,N){
        int vi, wi, m, b=1;
        cin >> vi >> wi >> m;
        // divide m into 1, 2, 4, 8...
        while(b<=m){
            v.push_back(vi*b);
            w.push_back(wi*b);
            m -= b;
            b *= 2;
        }
        // the rest of m
        if(m>0){
            v.push_back(vi*m);
            w.push_back(wi*m);
        }
    }
    M = v.size();
    REP(i,M){
        REP(j,W+1){
            dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j]);
            if(j >= w[i]) dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout << dp[M][W] << endl;
    return 0;
}